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Dieses Thema ist unglaublich interessant. Es hat mit Skalierung, Effizienz und einer zusätzlichen Dimension zu tun.

Ein anderer Poster hat deine Frage super direkt beantwortet, also dachte ich, ich erweitere das Thema mal.

Ja, das Quadrat-Kubik-Gesetz zeigt, wie einige Merkmale des Tieres in 3 Dimensionen wachsen, aber wusstest du, dass wir die Lebenserwartung eines Tieres basierend auf dem Gewicht der Spezies vorhersagen können?

Die Lebenserwartung skaliert mit GEWICHT1/4. Das ist die ein Viertel Potenz. Merk dir diese (1/4) Potenz für später. Es ist nicht nur die Lebenserwartung, sondern du kannst das Gewicht auch verwenden, um Folgendes vorherzusagen:

Stoffwechsel (wie viele Kalorien das Tier pro Tag benötigt)

Ruheherzfrequenz

Gehirngröße im Vergleich zur Intelligenz

benötigter Sauerstoff

Anzahl der Nachkommen über die Lebensspanne

Alles für das durchschnittliche Tier dieser Größe.

Aber das gilt nicht nur für Tiere. Es funktioniert auch für Bäume. Es gilt für ähnliche Merkmale von Organisationen wie Ameisenkolonien oder börsennotierten Unternehmen. Es gilt sogar für Städte. Das Lebenstempo ist in größeren Städten schneller, und du kannst es vorhersagen, um wie viel, und die Lebensdauer eines Unternehmens basierend auf der Größe der Organisation. Beide sind im Durchschnitt exponentiell.
Also... warum passiert das?

Was haben Mäuse, Elefanten, Menschen, Bäume und sogar Städte in gewissem Maße gemeinsam?

Sie alle benötigen Ressourcen, die an jeden Teil ihrer Struktur geliefert werden. Wenn die Masse zunimmt, musst du Blut (Sauerstoff und Nährstoffe) an jede einzelne Zelle im Körper liefern. Sobald du ein Herz-Kreislauf-System hast, hast du eine verzweigte Reihe von Röhren, die zu jeder einzelnen Zelle führen müssen, so wie jede Straße in der Lage sein muss, ein Poststück an jede einzelne Adresse zu liefern. Jede Straße (einschließlich Einfahrten) muss in einem Haus enden oder sich mit ihm treffen. Das ist im Grunde ein Fraktal - eine sich wiederholende, selbstähnliche Struktur, die in jeder Größenordnung gleich aussieht (wie die Äste eines Baumes).

Wenn Tiere größer werden, wird diese Struktur effizienter. Es gibt eine 25%ige Einsparung, die du mit der Skalierung erzielst (1/4 Potenz). Autobahnen können schneller fahren als Landstraßen, und je mehr Autobahnen du bauen kannst, desto besser kannst du Dinge liefern.

Diese 4 aus der 1/4 Potenz lässt sich besser als 3+1 beschreiben. 3 für die drei räumlichen Dimensionen, in denen wir skalieren, und 1 für die fraktale Natur der Struktur. Tiere skalieren in 3 Dimensionen, und die fraktale Natur unseres Herz-Kreislauf-Systems skaliert in 4. Am Ende haben wir einen 1/4 zusätzlichen Bonuseffizienz bei der Skalierung.
Zusätzliche Dimensionen

Warte, was? 4 Dimensionen? Ja, sozusagen... Das wird jetzt tiefgründig. Fraktale sind seltsam. Sie verhalten sich irgendwie so, als würden sie eine zusätzliche Dimension hinzufügen, mathematisch gesehen.

Der beste Weg, wie ich dir dabei helfen kann, das zu verstehen, sind Küstenlinien und seltsame Fragen über 4D-Kugeln.

Wie lang ist die Küstenlinie von Island? Welches Land in Europa hat die längste Küstenlinie? Das scheinen Fragen mit einfachen Antworten zu sein, aber seit Jahrhunderten bekamen Kartografen unterschiedliche Antworten und konnten nicht erklären, warum. Das Problem ist, dass Küstenlinien Fraktale sind, und nach ihrer Länge zu fragen, ist eine 1D-Frage (Länge) über etwas, das sich so verhält, als hätte es eine zusätzliche Dimension.

Stell dir eine Kugel vor. Stellen wir nun eine Frage, die bei einer Kugel Sinn macht: Was ist das Volumen? Was ist die Oberfläche? Wir können Formeln finden, um diese Fragen zu beantworten.

Stellen wir nun eine Frage, die bei einer Kugel keinen Sinn zu machen scheint. Was ist die Gesamtfläche des Inneren? Das scheint keinen Sinn zu machen, denn es kann doch keine Fläche eines dreidimensionalen Objekts geben, oder?

Wenn wir uns die Kugel als eine unendliche Reihe von zweidimensionalen Kreisen im dreidimensionalen Raum vorstellen, also als Scheiben einer Kugel, die übereinander liegen, dann können wir sagen, wie groß die Fläche jeder dieser Scheiben ist und sie addieren.

Da es unendlich viele dieser Kreise gibt, ist die Oberfläche unendlich. Manchmal, wenn du eine Frage stellst, die sich auf ein Objekt mit einer höheren Anzahl von Dimensionen bezieht, erhältst du Unendlichkeit als Antwort. Fläche ist eine 2D-Frage, und ich habe nach einer 3D-Form gefragt, also habe ich Unendlichkeit erhalten.

Was wäre, wenn ich dir sagen würde, dass es eine reale zweidimensionale Form gibt, die nicht breiter als ein Viertel sein kann, aber einen unendlichen Umfang hat? Der Koch-Schneeflocke ist ein Fraktal, das so definiert werden kann, dass der Umfang unendlich ist, so als würden wir eine 1D-Frage über eine Eigenschaft eines 2D-Objekts stellen.

Das ist der Entdeckung des Küstenlinienproblems in der Kartografie sehr ähnlich. Je nachdem, wie klein du deine kleinste Messung wählst, wird die Küstenlinie länger.

Die verzweigte Natur unseres Herz-Kreislauf-Systems ist ähnlich. Sie ist nicht unendlich, aber sie ist fast wie eine zusätzliche Dimension. Obwohl wir nur ein paar Meter groß sind, hat unser Herz-Kreislauf-System eine Oberfläche, die größer ist als ein Tennisplatz. Wir sind größer im Inneren.
Wo ist die zusätzliche Dimension?

Es ist ein Was, kein Wo Manche Dimensionen sind Wo-Dimensionen wie links, rechts, oben und unten. Manche sind Was-Dimensionen wie Druck, Zeit (sozusagen) oder Volumen. Das, was in einem Fraktal erhöht wird, ist Information über die Skalierung. Um ein Fraktal zu definieren, muss ich schummeln. Die Information für das Fraktal ist nicht in der Form gespeichert, sondern in der Definition. Ich muss dir einen Algorithmus geben. Und die Form ändert sich tatsächlich, je nachdem, welche Auflösung du wählst, um sie zu messen. Wenn du die Skalierung oder Auflösung änderst, änderst du die Form, weil die Form in Bezug auf ihre Auflösung oder Skalierung definiert ist.